Результати попередньої серії дослідів представлені в таблиці:
Результати попередньої серії дослідів.
22,95821,71922,94921,60722,10222,80722,61421,34222,27223,13521,80221,43723,70124,20423,13322,25920,40223,23722,49922,43423,01421,13523,91623,85323,14921,81921,25823,22321,97621,4323,22620,77821,31821,44620,60424,54722,06822,4922,43521,22521,83822,95723,14722,60322,63324,52222,86223,10122,62421,76122,70322,72222,88123,82423,42321,72722,11320,92523,14322,583
Розіб'ємо діапазон від 20,402 до 24,547 на інтервали рівної довжини. За формулою знаходження інтервалів знаходимо 7 інтервалів.
Довжина кожного інтервалу:
Середнє значення вихідної величини дорівнюватиме:
=
Для того щоб обчислити вибіркову дисперсію:
необхідно знайти межі інтервалів і їх середини. Достатньо знати, в який інтервал потрапляє кожне значення випадкової величини:
Номер інтервалаГраніци інтервалаСередіна інтервалаЧісло спостережень в інтервалі ( m i ) Відносна частота p i =m 1 /m 120,402 ... 20,99420,69840,06667222,994 ... 21,58621,29080,13333321,586 ... 22,17821,882110,18333422,178 ... 22,77122,475130, 21667522,771 ... 23,36323,067160,26667623,363 ... 24,95523,65950,08333724,955 ... 24,54724,25130,05000
Т.к. сума всіх відносних частот дорівнює одиниці, то площа гістограми теж дорівнює одиниці. Зі збільшенням числа дослідів, n значення кожної частоти стає все ближчим до відповідної ймовірності p i.
=0,842
Передбачається, що вихідна величина підпорядковується нормальному закону розподілу. Це припущення можна перевірити різними способами. Найбільш суворим з них є застосування критерію? 2 Пірсона. Для цього необхідно мати вибірку досить великого обсягу: n gt; 50 - 150. Діапазон зміни вихідної величини в цій вибірці розбивається на l інтервалів так, щоб ці інтервали покривали всю вісь від- до + і в кожний інтервал при цьому потрапило щонайменше п'ять значень вихідної величини. Підраховують кількість mi спостережень, що потрапили в кожен інтервал. Потім обчислюють теоретичні попадання випадкової величини в кожен i -й інтервал. Для цього використовують формулу
pi=Ф (z2) - Ф (z1),
де
z1=(-)/s; z2=(-)/s;
де - середнє арифметичне вибірки; s - середнє квадратичне відхилення вибірки;- Нижня межа i-го інтервалу;- Верхня межа i-го інтервалу; Ф (z) - нормована функція Лапласа:
Ф (z)=
Значення її для z=z1 і z=z2 визначають з таблиць. При відшуканні значень цієї функції для негативних значень аргументу слід мати на увазі, що функція Ф (z) непарна:
Ф (- z)=1 - Ф (z).
Наступним етапом є обчислення величини? 2 за формулою
? 2 =.
За обраному рівнем значущості q і числу ступенів свободи k = l - 3 з таблиці відшукують. Гіпотезу про нормальність розподілу можна прийняти, якщо.
Обчислення зручно вести заповнюючи таблицю:
Допоміжна таблиця для розрахунку критерію? 2 Пірсона.
Номер нтервалаy i н yi в miz 1 z 2 Ф 0 (z 1) Ф 0 (z 2) p in (mi -pin) 2 (mi -pin) 2/pi n1234567891011120,40220,9944-2,215-1,5700,013550,038361,4896,3074,2370220,99421,5868-1,570-0,9250,058210,178797,2350,5860,0809321,58622,17811-0,925-0,2800,178790,3897412,6572,7460,2169422,17822,77113-0,2800,3660,389740,6405815,0504,2040,2793522,77123,363160,3661,0110,503990,8437520,38619,2330,9435623,36323,95551,0111,6560,843750,855430,70118,48326,3743723,95524,54731,6562,3010,855430,9892808,03125,3113,1517 Дані вибірки розіб'ємо на 7 інтервалів, межі яких вказані в другому і третьому стовпцях. У четвертому стовпці наведено кількість спостережень, що потрапили в кожен інтервал. Далі за даними таблиці
обчислені середнє і стандарт s вибірки.
Середнє квадратичне відхилення:
0,918
За формулами розраховуємо значення z1 і z2 для кожного інтервалу (п'ятий і шостий стовпець)
По таблиці знаходимо нормовану функцію Лапласа.
Згідно формулі обчислюємо теоретичне потрапляння випадкової величини в кожен i -й інтервал і заповнюємо стовпець 9 таблиці.
Шукану величину отримують підсумовуванням значень останнього стовпця 2.923.
Виберемо рівень значимості q=0,05,
число ступенів свободи k=7-3=4.
За знайденими величинам q і f з таблиці відшукуємо - гіпотеза про нормаль...
