, z; б, в, ..., г)=0 (1)
з невідомими х, у, ..., z і з параметрами б, в, ..., г; при будь-якої припустимою системі значень параметрів б 0, в 0, ..., г 0 рівняння (1) звертається в рівняння
F (х, у, ..., z; б 0, в 0, ..., г 0)=0 (2)
з невідомими х, у, ..., z, що не містить параметрів. Рівняння (2) має деяке цілком визначене безліч рішень.
Вирішити рівняння містить параметри, це отже, кожної допустимої системи значень параметрів знайти безліч всіх рішень даного рівняння.
Основні види рівнянь з параметрами:
) Лінійні і квадратні рівняння, що містять параметр
Лінійні і квадратні рівняння, що містять параметр, можна об'єднати в одну групу - групу рівнянь з параметром не вище другого ступеня.
Рівняння з параметром не вище другого ступеня є найпоширенішими в практиці підсумкових і конкурсних завдань. Їх загальний вигляд визначається многочленом.
Контрольні значення параметра визначаються рівнянням. На виділених контрольними значеннями проміжках допустимих значень параметра дискримінант має певний знак, відповідні приватні рівняння належать одному з двох останніх типів.
Тоді рішенням всякого рівняння з параметром не вище другого ступеня здійснюється за такими етапами:
. На числовій прямій зазначаються всі контрольні значення параметра, для яких відповідні приватні рівняння не визначені.
. На області допустимих значень параметра вихідного рівняння за допомогою рівносильних перетворень приводиться до вигляду.
. Виділяють безліч контрольних значень параметра, для яких рівняння має кінцеве безліч рішень, то для кожного знайденого контрольного значення параметра відповідне частное рівняння вирішується окремо.
Проводиться класифікація приватних рівнянь за першими трьома типами. На нескінченній множині рішень рівняння проводиться рішення рівняння, виділяються типи нескінченних і порожніх особливих приватних рівнянь. Безлічі значень параметра, для яких і, відповідає третьому тип не особливих приватних рівнянь.
. Виділяються контрольні значення параметра, для яких дискримінант звертається в нуль. Що відповідають не особливі приватні рівняння мають дворазовий корінь.
. Знайдені контрольні значення параметра розбивають область допустимих значень параметра на проміжки. На кожному з проміжків визначається знак дискримінанта.
) Дробово-раціональні рівняння, що містять параметр, що зводяться до лінійних.
Процес рішення дрібно-раціональних рівнянь протікає за звичайною схемою: дане рівняння замінюється цілим шляхом множення обох частин рівняння на спільний знаменник лівої і правої його частин. Після чого учні вирішують відомим їм способом ціле рівняння, виключаючи сторонні корені, тобто числа, які звертають спільний знаменник в нуль. У разі рівнянь з параметрами ця задача більш складна. Тут, щоб сторонні корені виключити, потрібно знаходити значення параметра, що звертає спільний знаменник в нуль, тобто вирішувати відповідні рівняння щодо параметра.
) Ірраціональні рівняння, що містять параметр.
Головними особливостями при вирішенні рівнянь такого типу є:
. обмеження області визначення невідомої х, так як вона змінюється в залежності від значення параметра;
. у вирішенні рівнянь виду при зведенні в квадрат необхідно враховувати знак і проводити перевірку коренів.
При розгляді всіх особливих випадків і зведенні обох частин ірраціонального рівняння в квадрат ми переходимо до вирішення квадратного рівняння з параметром.
) Показові рівняння, що містять параметр.
Більшість показових рівнянь з параметрами зводиться до показових рівнянь виду: а f (x)=bg (х), де а gt; 0, b gt; 0.
Область допустимих значень такого рівняння перебуває як перетин областей допустимих значень функцій f (x) і g (х). Для рішення рівняння а f (x)=bg (х) необхідно розглянути такі випадки:
. При а=b=1 рішенням рівняння а f (x)=bg (х) є область його допустимих значень D.
. При а=1, b? 1 рішенням рівняння а f (x)=bg (х) служить рішення рівняння g (х)=0 на області допустимих значень D.
. При а? 1, b=1 рішення рівняння а f (x)=bg (х) знаходиться як рішення рівняння f (х)=0 на області D.
. При а=b (а gt; 0, а? 1, b gt; 0, b? 1) рівняння а f (x)=bg (х) рівносильне рівнянню f (х)=g (х) на області D.
