ефіцієнтами зазвичай записується так:
(1)
Якщо ввести оператор диференціювання за часом, то рівняння (1) запишеться у компактному вигляді:
В
A ( p ) y ( t ) = B (< i> p ) f ( t ), (2)
де A ( p ) = A n p n + ...... + a 1 p + a 0 ; B ( p ) = b m p m + ...... + b 1 p + b 0 - операторні поліноми. Диференціальне рівняння доповнюється початковими умовами.
Передавальна функція дорівнює відношенню зображень по Лапласа змінних виходу і входу при нульових початкових умовах W ( s ) = Y ( s ) /F ( s ), де інтегральне перетворення Лапласа визначається так:
В
В
Перетворюючи диференціальне рівняння (1) при нульових початкових умовах, отримуємо алгебраїчне рівняння для зображень:
В
A ( s ) Y ( s ) = B (< i> s ) F ( s ).
Звідси випливає, що передавальна функція легко записується за диференціального рівняння
В
W ( s ) = B ( s ) /A ( s ) (3)
і, навпаки, за передавальної функції відразу записується диференціальне рівняння.
Знаючи передавальну функцію і зображення змінної входу, легко знайти зображення виходу
В
Y ( s ) = W ( s ) F (< i> s ).
В
Приклад. Нехай система описується диференціальним рівнянням другого порядку:
В
Перетворимо це рівняння по Лапласа, для чого скористаємося властивістю лінійності оператора перетворення L , а також теоремою про диференціюванні оригіналу:
a 2 ( s 2 Y ( s ) - Sy (0) - y Вў (0)) + a 1 ( sY ( s ) - y (0)) + a 0 Y ( s ) = b 0 F ( s ).
Останнє рівняння перепишемо у наступному вигляді:
( a 2 s 2 + a 1 s + A 0 ) Y ( s ) = b 0 F ( s ) + A 2 sy (0) + a 2 y '(0) + a 1 y (0).
При нульових початкових умовах y (0) = y '(0) = 0 відношення зображень, тобто передавальна функція
В
Оператор, зв'язуючий вхід і вихід, можна задати коефіцієнтом і множинами нулів (коренів полінома) z j ; j = 1, ..., m і полюсів (коренів полінома знаменника) p i ; i = 1, ..., n. Передавальна функція буде дорівнює:
(4)
На відміну від поліноміальної форми (3) форму завдання передавальних функцій (4) іноді називають факторізовать.
Вводиться поняття структури оператора перетворення. Для диференціального рівняння n -го порядку (1) і передавальної функції (3) завдання структури означає завдання цілих чисел - ступенів n = deg A і m = deg B - поліномів А і В .
Параметрами оператора є коефіцієнти поліномів.
Тимчасові характеристики є однією з форм подання операторів перетворення змінної f ( t ) у змінну y ( t ). Імпульсна перехідна функція, або функція ваги w ( t ) - Реакція системи на одиничний ідеальний імпульс (рис. 4, а ) при нульових початкових умовах. мінлива виходу визначається як інтеграл згортки:
(5)
тобто в цьому випадку оператор перетворення має форму інтегрального рівняння.
Інша часто вживана тимчасова характеристика - перехідна (рис. 4, б ) характеристика h ( t ) - реакція системи на одиничну ступінчасту функцію1 ( t ) при нульових початкових умовах. На рис.4 наведено приблизний вид тимчасових характеристик для системи другого порядку.
В В
Частотні характеристики елементів і систем являють собою залежність параметрів сталих реакцій на гармонійні сигнали всіх частот і одиничних амплітуд. У лінійних системах форма і частота усталеною реакції збігаються з входом. Комплексна частотна характеристика W () дає можливість визначити амплітуду і фазу гармонійного сигналу на виході системи по значенням частоти:
В
(6)
де і j (w) == arg W ( j w) - амплітудна і фазова частотні характеристи...
