их об'ємах вібірок и умотівованою. Статистична оцінка назівається
ефективного , ЯКЩО при заданому об'ємі Вибірки має найменшу можливіть дісперсію. Статистична оцінка є
умотівованою , ЯКЩО при по ймовірності прямує до параметра теоретичного розподілу. Если дісперсія незміщенної ОЦІНКИ при прямує до нуля, то така оцінка є умотівованою.
При малих об'ємах Вибірки Точковой оцінка может однозначно відрізнятіся від значення параметра теоретичного розподілу. З цієї причини при малих об'ємах вібірок корістуються інтервальнімі оцінкамі.
Інтервальною назівають оцінку, яка візначається двома числами - кінцямі інтервала. Інтервальна оцінка дозволяє Встановити точність та Надійність оцінок.
Нехай Значення ОЦІНКИ для конкретної Вибірки . тім точніше візначає значення параметра q , чім Менша абсолютна різніця. Нехай d > 0 - Деяк число. Ймовірність
(1)
назівається надійністю ОЦІНКИ. Рівність (1) можна переписати у вігляді
,
.
виходе, что ймовірність того, что Випадкове Інтервал покріває невідоме значення параметра q дорівнює g . ТАКИЙ Інтервал назівається довірчім . Отже, інтервальна оцінка візначається довірчім інтервалом та надійністю. Чім Менша Надійність, тім вужчий довірчій Інтервал, и навпаки. На практіці Надійність задається близьким да 1 . Найбільш часто задають надійності 0.95 , 0.99 и 0.999 .
6.Статістічні ОЦІНКИ чисельного характеристик дискретних розподілів
Нехай X дискретна Випадкове величина Із розподілом
. (1.2)
множини значень віпадкової Величини X є генеральні сукупністю и вважається відомою.
Приклад 4.1.1. Кількість очок, яка віпадає при кіданні несіметрічного кубика є дискретністю Випадкове завбільшки з розподілом
В
з відомімі значень та невідомімі ймовірностямі.
Нехай нужно найти математичне сподівання віпадкової Величини X (Яке в математічній статістіці назівається генеральним середнім и позначається) та дісперсію ( генеральні дісперсією ). Для цього здійснюють вібірку об'єму n .
Статистичною оцінкою генерального СЕРЕДНЯ є випадкове величина
, (1.3)
де - дискретна Випадкове величина - кількість значень у вібірці. Вона может набуваті значень від 0 до n . Статистична оцінка є незміщенною (), ефективного та умотівованною. p> Доведення . Если вважаті, что вібірка здійснюється по одному, то випадкове величину можна такоже представіті як торбу Випадкове величин - варіанта при-війманні, шкірні з якіх має Розподіл, Який співпадає з розподілом віпадкової величин:
В
Тому для математичного сподівання віпадкової величини можна Записати
В
Зх врахування того, что віпадкові Величини мают однаково Розподіл з Випадкове величини можна записатися, что
,
І, як наслідок,
.
Отже, статистична оцінка є незміщенною.
Дісперсії Випадкове величин однакові. Если смороду обмежені, то згідно теореми Чебишева (3.9.2.1
,
а це означає, что по ймовірності збігається до генерального СЕРЕДНЯ, что, у свою черго, означає, что є Ефективно Статистичною оцінкою генерального Середньому.
Випадкове величина (вібіркова дісперсія)
(1.4)
є зміщенною () Статистичною оцінкою дісперсії діскретної віпадкової Величини X - генеральної дісперсії. Тому для генеральної дісперсії вікорістовується "виправлю" вібіркова дісперсія
, (1.5)
яка є незміщенною (), ефективного та умотіванною.
Різніця между вібірковою та "Виправленому" вібірковою дісперсіямі при Достатньо великому об'ємі Вибірки мала. На практіці корістуються "Виправленому" дісперсією, ЯКЩО пріблізно.
Для ОЦІНКИ середньоквадратічного відхілення генеральної сукупності (у цьом випадка - Діскретної віпадкової Величини X ) Використовують "Виправленому" середньоквадратічне відхілення Вибірки
, (1.6)
яка є незміщенною (, s z - середньоквадратічне відхілення генеральної сукупності), ефективного та умотівованною.
Статистичнй оцінкамі ймовірностей є відносні частоти
,
Які є незміщеннімі (), ефективного та умотівованімі.
Довірчі інтервалі ймовірностей обчислюють за формулами
, (1.7а)
. (1.7b)
Значення змінної t (різне для шкірного i ) знаходится з умови, де - інтеграл Лапласа, - Надійність відносної частоти як статистичної ОЦІНКИ ймовірності p i . p> Приклад 1.2. Несіметрічній кубик кинули 80 разів ...
