теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Вирішення цього завдання пов'язано з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 - 1866 рр..), Французького математика Г. Дарбу (1842 - 1917). p> Відповіді на багато питань, пов'язаних з існуванням площ і обсягів фігур, були отримані із створенням К. Жорданом (1826 - 1922 рр..) теорії міри.
Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 рр..) і А. Данжуа (1884 - 1974) радянським математиком А. Я. хичинами (1894 -1959 рр..) b>
2. Умови існування певного інтеграла
1. Інтегрована функція необхідно обмежена.
Якби функція f (x) була в проміжку [a, b] необмежена, то - при будь-якому розбитті проміжку на частини - вона зберегла б подібна властивість хоч в однієї з частин. Тоді за рахунок вибору в цій частині точки можна було б зробити f (), а з нею і суму, - як завгодно великий; за цих умов кінцевого межі для існувати не могло б.
2.Для існування певного інтеграла необхідно і достатньо, щоб було
(S - s) = 0
s = m О”X, S = M О”X,
де m і M - точні нижня і верхня грані. Суми Дарбу s і S служать точними, відповідно, нижньою і верхньою межами для інтегральних сум. [7]
3. Додаток інтегрального числення
В
3.1 Загальні поняття
Нехай потрібно знайти значення будь - якої геометричній або фізичної величини A (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т. д.), пов'язаної з відрізком [a, b] зміни змінної x. Передбачається, що при розбитті відрізка [a, b] крапкою з (a, b) на частини [a, c] і [c, b] значення величини A, відповідне всьому відрізку [A, b] дорівнює сумі її значень, що відповідають [a, c] і [c, b].
Для знаходження цієї величини А можна керуватися однією з двох схем: I схема (або метод інтегральних сум) і II схема (або метод диференціала). [5]
Перша схема базується на визначенні визначеного інтеграла.
1. Точками x = a , x , ..., x = b розбити відрізок [a, b] на n частин. У Відповідно до цього, цікавить нас величина A розіб'ється на n "елементарних доданків "
О” A (I = 1, ..., n): A = О”A + О”A + ... + О”A
2. Уявити кожне "елементарне доданок" в вигляді твору деякої функції (яка визначається з умови задачі), обчисленої в довільній точці відповідного відрізка на його довжину:
Δ A ≈ f (c) ΔX
При знаходженні наближеного значення ДЛ; припустимі деякі спрощення: дугу на малій ділянці можна замінити хордою, стягивающей її кінці; змінну швидкість на малій ділянці можна наближено вважати постійною і т. д.
Отримаємо наближене значення величини А ...
