Положення рівноваги знаходимо з системи рівнянь
P (? 1,? 2) = 0
Q (? 1,? 2) = 0
Або
x2 = 0
? x1 - 0,1 - 0,5 x2 = 0
Вирішуючи її, знаходимо
x2 = 0
x1 = 0
Таким чином, отримуємо положення рівноваги M (0,0).
3. Виконати чисельний розрахунок вихідного нелінійного рівняння і отримати графік y (t) для початкових умов y (0) = 1,? (0) = 1
Якщо завдання про відшукання рішень диференціального рівняння вдається звести до кінцевого числа алгебраїчних операцій, операцій диференціювання та інтегрування відомих функцій, то говорять, що диференціальне рівняння інтегрується в квадратурі. На практиці рідко зустрічаються рівняння, що інтегруються в квадратурах. Для дослідження і розв'язання рівнянь, що не інтегруються в квадратурі, використовуються чисельні методи розв'язання задачі Коші. p> Чисельне рішення задачі Коші y? = F (x, y), y (a) = y0 на відрізку [a, b] полягає в побудові таблиці наближених значень y0, y1, ..., yi, ..., yN рішення y = y (x), y (xi) ? yi у вузлах сітки a = x0
Якщо xi = a + ih, h = (b - a)/N, то сітка називається рівномірною.
Чисельний метод рішення задачі Коші називається однокроковим, якщо для обчислення рішення в точці x0 + h використовується інформація про рішення тільки в точці x0. Якщо ж використовуються кілька попередніх значень - багатокроковим. p> Методи, в яких для обчислення наближеного рішення у черговому i-му вузлі необхідно додатково вирішувати деякі рівняння (лінійні або нелінійні), називаються неявними методами. На противагу цьому методи, в яких наближене рішення у черговому i-му вузлі явно виражається через попередні значення, називаються явними методами. p> Найпростіший однокроковий явний метод чисельного рішення задачі Коші - метод Ейлера. У методі Ейлера величини yi обчислюються за формулою yi +1 = yi + h? F (xi, yi):
y? = F (x, y), y (a) = y0, x? [A, b], = a + ih, h = (b - a)/N, i = 0, 1, 2, ..., N, (xi)? yi, +1 = yi + h? f (xi, yi).
Для похибки методу Ейлера на одному кроці справедлива оцінка
max1? i? N | y (xi)? yi |? Ch2,
а для оцінки похибки розв'язку на всьому відрізку [a, b] справедливо
max1? i? N | y (xi)? yi |? C (| b? A |)? H
Для практичної оцінки похибки найзручніше використовувати правило Рунге: виробляються обчислення з кроком h - обчислюють значення y (h) i, потім виробляються обчислення з половинним кроком h/2 - обчислюють значення y (h/2) i. За оцінку похибки з кроком h/2 приймають величину
maxi | yi (h) - y2i (h/2) |.
Якщо з'єднати точки (xi, yi) прямолінійними відрізками, одержимо ламану Ейлера - ламану лінію, кожна ланка якої з початком у точці (xi, yi) має кутовий коефіцієнт, що дорівнює f (xi, yi).
Отже, виконаємо чисельний розрахунок в...
