ихідного нелінійного рівняння
? (t) + 0,5? (t) + 0,1 [? (t)] 2 + y (t) = 0
і побудуємо графік y (t) для початкових умов y (0) = 1,? (0) = 1.
Наведемо вихідне рівняння до рівняння першого порядку, для зручності замінивши
y (t) = z
y? (t) = u
y?? (t) = u?
Отримуємо рівняння першого порядку:
u? =? 0,5 u? 0,1 u2 - z
Задамо крок інтегрування - відстань h між вузлами інтегрування - рівним 0,01.
Згідно умовою завдання, z0 = y (0) = 1, u0 =? (0) = 1.
Послідовні значення ui і zi, згідно з методом Ейлера, будемо обчислювати за формулами
= ui-1? h + zi-1
ui = ui-1 + h? (? 0,5 ​​ui-1? 0,1 ui-12? zi-1)
Знаходимо:
z1 = u0 h + z0 = 1? 0,01 + 1 = 1,01
u1 = u0 + h? (? 0,5 ​​u0? 0,1 u02 - z0) = 1 +0,01 (-0,5? 1-0,1? 12-1) = 0,984
Аналогічно проводимо розрахунки u2, u3, ..., u100 і z2, z3, ..., z100. Результати розрахунків, виконаних за допомогою програми Microsoft Excel, наведені в таблиці 3.1. p align="justify"> Для оцінки похибки використовуємо правило Рунге: зробимо обчислення з кроком h/2 = 0,005. Результати розрахунків наведено в таблиці 3.2. Похибка обчислюємо за формулою
maxi | zi (h) - z2i (h/2) | = | z50 (h) - z100 (h/2) | = | 1,308-1,3067 | = 0,0013
Таблиця 3.1. Результати чисельного розрахунку вихідного нелінійного рівняння методом Ейлера з кроком інтегрування 0,01. P
Таблиця 3.2. Результати чисельного розрахунку вихідного нелінійного рівняння методом Ейлера з кроком інтегрування 0,005. P
Графік y (t) будуємо теж в інструментах програми Microsoft Excel. Він представлений на малюнку 3.1. br/>В
Малюнок 3.1. Криві Ейлера для вихідного нелінійного диференціального рівняння. br/>
4. Провести линеаризацию системи
У багатьох випадках нелінійні диференціальні рівняння, що описують більшість систем управління, можна линеаризовать, тобто замінити вихідні нелінійні рівняння лінійними. Процес перетворення нелінійних рівнянь в лінійні називають лінеаризацією. p align="justify"> Призначення систем управління - це підтримка деякого заданого режиму. При цьому режимі вхідні та вихідні змінні ланок системи змінюються за певним законом. Зокрема, в системах стабілізації вони приймають певні постійні значення. Але через різні збурюючих факторів фактичний режим відрізняється від запланованого, та поточні значення вхідних і вихідних змінних не рівні значенням, відповідним заданим режимом. Зазвичай систему управління проектують таким чином, щоб реальний процес мало відрізнявся від необхідного режиму, тобто щоб відхилення від заданого режиму були малі. Це дозволяє виробляти линеаризацию, розкладаючи нелінійні функції, що входять в рівняння, в ряд Тейлора в...
