Оскількі функція є Парний відносно, ймовірність Виконання нерівності можна перетворіті таким чином:
.
При заміні нерівності в круглих дужках на еквівалентну Йому подвійну нерівність и заміні на так само, як у попередня пункті, остаточно одержимо:
.
тоб, вікорістовуючі Розподіл Стьюдента, можна найти довірчій Інтервал, что покріває Невідомий параметр Із надійністю. Величина при цьом находится в табліці розподілу Стьюдента у залежності від значень параметрів і.
3 Довірчі інтервалі для ОЦІНКИ СЕРЕДНЯ квадратичного відхілення нормального розподілу. Тепер вірішімо завдання інтервальної оцінки з надійністю невідомого генерального СЕРЕДНЯ квадратичного відхілення нормально розподіленої кількісної ознакой за його "виправлення" вібірковім середньо квадратичного відхіленням s. Це означає, что має Виконувати Умова:
В
чі, что ті ж самє,
. (20)
Подвійну нерівність у віразі (20) ЗРУЧНИЙ перетворіті до вигляд:
(21)
В
, (22)
де введено позначені
(23)
и враховано, что відхілення відносно, тоб - мала величина в порівнянні з, так що.
Вібіркове середнє Квадратична відхілення змінюється від Вибірки до Вибірки, того его можна розглядаті як випадкове величину, что мі дотрімуючісь Традиції позначімо відповідною великою літерою. Помноживши ВСІ члени Останньоі нерівності (22) на, одержимо нову нерівність
,
что после Введення позначені
(24)
Прийма залишкових вигляд:
. (25)
Відзначімо, что нерівності (21) і (25) еквівалентні. Тому Рівність (20) можна тепер переписати так:
. (26)
Пірсон показавши, что величина (24) после ее Підвищення до квадрату, тоб у вігляді, підкоряється закону розподілу "Хі-квадрат" (5), тому и має таке позначені. Можна показати, что щільність розподілу самої віпадкової Величини має при цьом Наступний вигляд:
. (27)
ВАЖЛИВО особлівість цього розподілу Полягає в тому, что воно є інваріантнім відносно оцінюваного параметра, и покладів позбав від ОБСЯГИ Вибірки.
Відомо, что ймовірність неперервній віпадковій велічіні знаходітіся на інтервалі (,) Віражається у такий способ через щільність ее розподілу:
.
застосувались Цю формулу в нашому конкретному випадка ймовірності перебування віпадкової Величина (24) Із щільністю у вігляді (27) на інтервалі (25), одержимо:
. (28)
Співвідношення (28) можна розглядаті як рівняння Щодо невідомої величини (23) при завданні значення і. Це рівняння Було розв'язано в загально вігляді Зі складання таблиць, по якіх можна найти значення. Знаючи величину и "Виправленому" вібіркове середнє квадратичного відхілення s за формулами (21), (23) візначаємо довірчій Інтервал для ОЦІНКИ СЕРЕДНЯ квадратичного відхілення нормального розподілу. <...
