>.
Тоді на основі (3.5.10), (3.5.11) маємо (n +1)-мірну систему рівнянь щодо невідомих:
(3.5.13)
Як і в двовимірному випадку, з другого рівняння цієї системи висловлюємо допоміжну невідому:
(3.5.14)
де, а є алгебраїчні доповнення до елементів першого рядка матриці (що через відповідні мінори цієї матриці можна представити так:,).
Замінивши в (3.5.13) всі компоненти вектора z знайденим їх значенням (3.5.14), приходимо до наступного лінійному векторно матричному рівнянню щодо вектора-поправки:
, (3.5.15)
Де
. (3.5.16)
Рівняння (3.5.15) разом зі зв'язком (3.5.12), згідно якої
, (3.5.17)
є неявній формою п-полюсного методу Ньютона для рівняння (2.1а).
Сукупності формул (3.5.15) - (3.5.17) можна надати інший вигляд:
, (3.5.18)
який зручно трактувати як явний метод Ньютона зі своєрідною корекцією матриць Якобі шляхом додавання до них формуються за заданим правилом матриць. Як і в одновимірному випадку, для прискорення збіжності послідовності наближень полюси доцільно змінювати в такт із зміною значень функцій, і в самому простому випадку є сенс фіксувати матрицю С, а вектор брати рівним або -
4. Чисельний приклад
В
Початкове наближення:
В
Вектор-функція:
В
Матриця Якобі вектор-функції:
В
Обчислюємо корінь за формулою методу Ньютона c точністю:
В
k 00 -1-0.841 0-1.06 0.54 0 -2-0.944 -0.255 0 -0.5-0.794 -10.794> 1-0.794 -10.295 0.63-1.821 -0.221 -1.588 -2-0.608 0.067 0.482 -0.553-0.657 -0.7940.247> 2-0.657 -0.7940.058 0.062-1.48 0.12 -1.314 -1.588-0.633 -0.048 0.524 -0.59-0.617 -0.7880.040> 3-0.617 -0.788-0.0000597 0.011-1.441 0.159 -1.234-1.588- 0.639 -0.064 0.497 -0.58-0.616 -0.7880.001 = 4-0.616 -0.7880.000522 0.0004-1.434 0.166 -1.232 -1.576-0.639 -0.067 0.5 -0.582-0.616 - 0.7880 <
Відповідь:
нелінійне рівняння рішення ньютон
5. Реалізація методу Ньютона в середовищі MATLAB
М-функція.
function nwt = newton (x, y, e, F0, F1, dF0x, dF0y, dF1x, dF1y)
for i = 1:1000000 = [F0 (x, y); F1 (x, y)]; = [dF0x (x, y) dF0y (x, y); dF1x (x, y) dF1y (x, y)]; = [x; y] - dF ^ (-1) * F; = sqrt ((xZ (1)) ^ 2 + (yZ (2)) ^ 2); b> ; e = Z (1); = Z (2); break; ('Кількість ітерацій'); disp (i);
nwt = Z;
Функція в якості вхідних параметрів приймає початкове наближення (), функцію (), приватні похідні функції і точність e.
П'ята рядок знаходить нову точку наближення. Шо...
