, що , . Доповнюючи в рівнянні (13) члени, що містять і , до повного квадрата, отримаємо
(16)
Якщо , то рівняння (16) можна записати у вигляді
. (17)
Здійснимо паралельний перенесення системи координат () на вектор . Рівняння (17) в системі ( ) прийме вигляд:
В
Це рівняння зводиться до вигляду (VI). Якщо , то рівняння (16) має вигляд:
.
Здійснивши паралельний перенесення системи координат () на вектор , отримаємо в системі координат ( ) рівняння
.
Це рівняння при приводиться до вигляду (VII) або (IX), при - до виду (VIII).
Отже, якщо , то рівняння (11) визначає фігуру еліптичного типу; якщо - гіперболічного; якщо -параболічного типу.
Можна сказати, що існує декартова прямокутна система координат, в якій рівняння (11) приймає канонічний вигляд. Щоб знайти цю систему координат, поступаємо таким чином. p align="justify"> Знаходимо ортогональне перетворення, що приводить квадратичну форму, відповідну даному рівнянню, до канонічного виду.
За цим перетворенню знаходимо головні напрямки фігури, тобто вектори - ортонормированного власні вектори матриці квадратичної форми, яка відповідає даному рівнянню.
Знаходимо рівняння даної фігури в системі координат ()
В отриманому рівнянні виробляємо доповнення до повних квадратів так, як це було зазначено вище. Знаходимо координати точки , яка є початком шуканої системи координат.
У знайденій системі координат () рівняння даної фігури має канонічний вигляд.
.2 Спрощення рівнянь фігур другого порядку в просторі
Нехай поверхню другого порядку задана в звичайному для аналітичної геометрії вигляді. Перехід до нової декартовій системі з тим же початком зводиться до заміни змінних
(9)
