озбівають ее область значень, а потім сумуються з відповіднімі мірамі Міри прообразiв ціх інтервалів. ВАЖЛИВО Зазначити, что побудова інтеграла Лебега спірається на теорію Міри Лебега. p align="justify"> У якості традіційного приклада розглянемо функцію Діріхле
завдань на , де
борелівська ? - алгебра на , а - міра Лебега. Ця функція пріймає Значення в раціональних точках и в ірраціональніх. Легко Побачити, что НЕ інтегровна в сенсi Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі Зі скінченною мірою, бо пріймає Тільки два значення, а тому ее інтеграл Лебега визначеня и дорівнює:
В
Дійсно, міра відрізка дорівнює 1, и оскількі множини раціональних чисел зліченна, то его міра дорівнює 0, означатиме міра ірраціональніх чисел дорівнює .
Одне з основних ускладнень у вікорістанні традіційного інтеграла Лебега Полягає в тому, что его! застосування вімагає попередньої розробки відповідної Теорії Міри.
Існує Інший підхід, викладеня Даніеллем в 1918 году в его статьи В«Загальний вид інтегралаВ» (В«Annals of MathematicsВ», 19, 279), что НЕ має цього недоліку І що має значні ПЕРЕВАГА при узагальненні на простори Вищих розмірностей и подалі узагальнення (Наприклад, У ФОРМІ інтеграла Стілтьєса).
Основна ідея Полягає в аксіоматізуванні Поняття інтеграла. Розглянемо сімейство обмежених дійснозначніх функцій (назва Елементарна функціямі), визначених на множіні , что задовольняє таким аксіомам:
. - лінійній простір Із звичайна операціямі додавання и скалярного множення.
. : Якщо функція захи , то ее модуль такоже захи .
Крім того, на просторі елементарних функцій візначається позитивно визначеня неперервно лінійній функціонал , назв Елементарна інтеграл.
. Лінійність: Якщо h и k Обидва належати H, и , - довільні дійсна числа, тоді .
. Невід'ємність: Якщо , тоді .
. Неперервність: Якщо незростаюча послідовність (тоб ) функцій з ...
