; В1В2 ... - преставляють собою відповідно послідовне набліження кореня х *. br/>
Теорема. Про збіжність методу ітерації. p align="justify"> Если для всіх віконується нерівність
то на проміжку [a, b] рівняння має єдиний корінь и процес ітерації збігається до цього кореня Незалежності від Вибори початкова набліження.
Приклад.
Методом ітерації найти додатній корінь рівняння
х3 - 5х + 1 = 0
на відрізку [0; 0,5], ще два корені на відрізку [-3; -2], [2, 3].
Корінь знаходится на відрізку [0; 0,5].
Дани рівняння зведемо до вигляд
В
процес ітерацій збіжній.
Візьмемо за перше набліження х0 = 0,25 - середину відрізка [0; 0,5]. Обчислення будемо вести за формулою
.
Результати розв язку наведені в табліці 2.1.
Таблиця 2.1
nxnxn +100,250,2031310,203130,2016820,201680,2016430,201640,20164
При знаходженні двох других коренів методом ітерацій Вже НЕ можна скористати формулою
,
оскількі
В
У цьом випадка рівняння нужно представіті у вігляді, Наприклад, Тоді на відрізках [-3; -2], [2, 3] Умова буде Виконувати.
Таким чином при практичному знаходженні кореня за методом ітерації при переході від рівняння f (x) = 0 до (2.1.1) звітність, зобразіті так, щоб похідна за абсолютною величиною булу якомога Менша одініці.
Для зведення рівняння f (x) = 0 до вигляд (2.1.1) может буті застосовання загальний метод, Котре Забезпечує Виконання нерівності (2.1.3).
Нехай
(2.1.4)
при , де m1 - найменша Значення похідної , ;
М1 - найбільше Значення похідної на відрізку [a, b],
Если похідна - від ємна, то вместо рівняння f (x) = 0 розглянемо рівняння - f (x) = 0.
Замінімо це рівняння f (x) = 0 еквівалентнім Йому рівнянням и віберемо СТАЛА ? так, щоб Забезпечити Виконання умови (2.1.3)
.
)
Розкріваємо нерівність
Візьмемо праву нерівність
