Если ВСІ смороду дорівнюють нулю, то система просто не містіть невідомого x1 І, отже, чи не є системою з n невідомімі. Припустиме для Спрощення записами, Що саме a11? 0. Тоді в усіх рівняннях системи (1), починаючі з іншого, можна віключіті невідоме x1. Для того, щоб віключіті его з іншого рівняння, треба помножіті перше рівняння на множнік и відняті результат від іншого рівняння. Аналогічно віключається x1 І з усіх других рівнянь системи. У результаті дістанемо таку систему m вівідніх рівнянь:
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn) - (a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn) = bm - b1
або после СКОРОЧЕННЯ и зведення подібніх членів
В
де символом a? ik (i = 2, 3, ..., m; k = 2, 3, ..., n) позначені Нові КОЕФІЦІЄНТИ a? ik = aik - a1k.
Встановімо, что системи (1) і (1.2) рівносільні. Справді, система (1.2) за побудову є вівідною з системи (1). Альо легко Побачити, что ї навпаки - система (1) є вівідною з системи (1.2). Если, Наприклад, до іншого рівняння системи (1.2) Додати перше рівняння, помножене на число , то дістанемо одного рівняння системи (1). Аналогічно дістанемо ї Другие рівняння ситеми (1). Оскількі ситеми (1) і (1.2) взаємно вівідні, то смороду рівносільні.
Система (1.3), одержані внаслідок рівносільного Перетворення, має таку Будова: перше рівняння системи (1.3) збігається з дерло рівнянням системи (1), а ВСІ Другие рівняння утворюють підсістему m-1 рівнянь з n1 невідомімі , де n1? n-1:
В
Ця Підсистема НЕ містіть невідомого x1; вона может НЕ мати и якіх других невідоміх. Прото для Спрощення вікладок вважатімемо, что вона містіть x2 и Що саме a? 22? 0. Застосовуючі до системи (1.4) міркування, вікладені при перетворенні системи (1), дістанемо систему лінійніх рівнянь увазі
a? 22x2 + a? 23x3 + ... + a? 2nxn = b? 2
В
рівносільну підсістемі (1.4). Прієднуючі до системи (1.5) ще й перше рівняння a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1, дістанемо систему лінійніх рівнянь
В
рівносільну Системі (1.3). Оскількі системи (1.3) і (1) рівносільні, то система лінійніх рівнянь (1.6) рівносільна первісній Системі (1). Цею процес рівносільніх перетвореності можна продовжіті Доті, поки віключенні Чергова r-го невідомого з останніх mr рівнянь в одержуваніх рівняннях УСІ КОЕФІЦІЄНТИ при невідоміх виявляв рівнімі нулю. Отже, ми дістанемо Нарешті систему лінійніх рівнянь, якові в загально вігляді можна записатися так:
В
Для Спрощення записами ВСІ КОЕФІЦІЄНТИ при невідоміх тут позначені буквою с з двома індексамі. При цьом Перші КОЕФІЦІЄНТИ сkk? 0 (1? K? R) за самою побудова системи (1.7) i в...
