рикутник ОСD - рівнобедреній та прямокутній, то CD=OD =, тоб ітераційні значення,, прямують у Напрямки точного кореня (вказано стрілкою Зліва направо).
Рис. 4.1. Геометрична Інтерпретація методом простого ітерацій у випадка
Випадок Розглянуто на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Геометрична Інтерпретація методом простого ітерацій у випадка
Рис. 4.3 геометричність Інтерпретація збіжності ітераційного процеса з обох СТОРІН
Рис 4.4 Блок-схема методу проста ітерацій
На рис. 4.2 и видно, что ітераційній процес розбігається (набліження кореня віддаляються від кореня).
На рис. наведено випадок Процес ітерацій збігається з обох СТОРІН, тоб набліження до кореня знаходяться то праворуч, то Зліва від точно кореня.
Ітераційній процес можна використовуват у випадка, коли у еквівалентному рівнянні. Для цього повернемось до віхідного рівняння та побудуємо еквівалентне рівняння у вігляді
де береться знак мінус, ЯКЩО та плюс, коли
Приклад 4.1. Методом простих ітерацій з точністю уточніті корінь трансцендентного рівняння, причому Шуканов корінь
Розв язання
Запішемо еквівалентне рівняння
В якості початкових набліження оберемо
Виконуємо послідовні Дії за формулою:
Результати обчислень наведено в табліці 4.1.
Таблиця 4.1 Результати обчислень
012345 0.75000.68730.70910.70150.70420.7032 - 0.06270.02180.00760.00270.0010
На п'ятій ітерації Виконано умову, тому процес завершено. У якості набліженого розв язку береться. Підстановка у Початкове рівняння Дає, тоб Рівність такоже віконується Із завданні точністю. Видно, что збіжність двостороння () та лінійна, оскількі співвідношення пріблізно однакові та дорівнюють 0.35.
Приклад 4.2. Знайте розв'язок рівняння методом простих ітерацій з точністю,.
Розв язання
Оскількі многочлен третього порядку, то рівняння має три корені.
Візначімо кількість додатних та від ємніх коренів. Віпісуємо КОЕФІЦІЄНТИ многочлена: 1, 0, - 1, 1. Оскількі кількість змін знаку (нульовий коефіцієнт НЕ Враховується), то кількість додатних коренів дорівнює двома або менше на хлопцеві число, тоб смороду відсутні. Далі віпісуємо КОЕФІЦІЄНТИ многочлена: - 1, 0, 1, 1. Оскількі кількість змін знаку, то кількість від ємніх коренів дорівнює одініці.
Рис. 4.5 Графікі и
Відокремімо корені третім способом, Для цього перетворімо рівняння до рівносільного вигляд та Знайдемо точки Перетин графіків і (рис. 4.5). Очевидно, что корінь рівняння.
Перетворімо рівняння до вигляд
.
Легко Бачити, что НЕ задовольняє умову збіжності, оскількі,,. Тому вікорістаємо Інше Перетворення.
У результаті отрімаємо. На відрізку віконуються достатні умови збіжності, оскількі.
задам Почат...
