рішення, близького до точного, нам треба підібрати коефіцієнти так, щоб функція була мала. Зажадаємо, щоб нев'язка була ортогональна до базисних функціях тобто інтеграл
Таким чином, для визначення коефіцієнтів (i = 1,2, ..., n) приходимо до системи лінійних рівнянь:
, (i = 1,2, ..., n)
або більш докладно запишемо дану систему в матричному вигляді:
= (4.4)
Система рівнянь (4.4) дозволяється щодо за методом Гаусса. За отриманими значеннями і функціями визначаємо стовпець значень функції y (x) згідно з формулою (4.2). p> Певні інтеграли системи рівнянь (4.4) можна обчислити за методом Сімпсона, загальна формула якого має вигляд:
В
де n - кількість розбиттів відрізка [a, b].
Загальна похибка методу Сімпсона становить де.
подинтегральних функції в системі (4.4) мають видили Тоді з однорідних крайових умов (4.3) отримаємо або, що спрощує формулу Сімпсона.
Щоб досягти задану точність обчислюємо y (x) двома способами: один раз з числом базисних функцій i, інший раз з i +1, отримуючи при цьому значення більш точні. Якщо розбіжність отриманих значень не перевищує заданої точності Е = то вибране число функцій можна вважати достатнім і отримана функція y (x) задовольняє заданій точності. Інакше збільшуємо i, поки не буде досягнута задана точність. p> 4.2 Опис результатів
При вирішенні даного диференціального рівняння другого порядку із заданими крайовими умовами (1.3) методом Гальоркіна, отримані наступні результати представлені в таблиці 3. У стовпці Х наведено розбиття відрізка [1.3; 1.8] з кроком h = 0.02, у стовпці Y (X) - значення функції (n = 1, ..., 26) у відповідних точках в стовпці E - значення знайдених абсолютних похибок.
В результаті роботи програми, лістинг якої наведено в додатку 3, точність була досягнута при кількості базисних функцій рівних 5, максимальна похибка як видно з таблиці 3 при n = 24.
Легко помітити, що отримана максимальна похибка менше заданої точності отже, перевірка точності виконана і отримана точність задовольняє заданої.
коші крайової завдання точність
Таблиця 3
X Y (X) E
1) 1.30 2.200000 0.00e +000
) 1.32 2.029193 8.78e-007
) 1.34 1.859826 9.65e-007
) 1.36 1.692047 6.87e-007
) 1.38 1.526000 3.23e-007
) 1.40 1.361814 3.49e-008
) 1.42 1.199613 1.03e-007
) 1.44 1.039511 8.21e-008
