точці, що відповідає заданим режимом, і відкидаючи нелінійні щодо відхилень і їх похідних доданки. p align="justify"> Розглянемо докладно процес лінеаризації.
Оригінал нелінійне диференціальне рівняння
? (t) + 0,5 ? ( t) + 0,1 [ ? (t)] 2 + y (t) = 0,
т.ч. динамічне рівняння системи має нелінійний вигляд
F (y, ? , ? ) = 0
Для зручності подамо дану систему в простому вигляді, поклавши y = x1, ? = x2 і отримавши рівняння в нормальній формі:
? 2 =? x1 - 0,1 - 0,5 x2
Тоді динамічне рівняння системи в загальній формі має нелінійний вигляд
F (x1, x2,? 2) = 0 (4.1)
Припустимо, що усталений процес в системі має місце при деяких постійних значеннях x1 = і x2 =. Тоді рівняння усталеного стану для даної системи згідно (4.1) буде
(,, 0) = 0 (4.2)
В основі лінеаризації нелінійних рівнянь лежить припущення про те, що в досліджуваному динамічному процесі змінні (в даному випадку x1, x2) змінюються так, що їх відхилення від усталених значень (,) залишаються весь час досить малими.
Позначимо вказані відхилення через? x1,? x2. Тоді в динамічному процесі
x1 (t) = +? x1 (t)
x2 (t) = +? x2 (t) (4.3)
? 2 =? ? 2
Умова достатньої малості динамічних відхилень змінних від деяких сталих значень для системи автоматичного управління зазвичай виконується. Цього вимагає сама ідея роботи замкнутої автоматичної системи. p align="justify"> Зовнішнє же вплив f (права частина рівняння) не залежить від роботи автоматичної системи, зміна його може бути довільним, і тому права частина рівняння (4.1) зазвичай лінеаризації не підлягає (в окремих випадках і вона може бути лінеаризована).
Далі виконуємо линеаризацию.
Розкладемо функцію F, що стоїть в лівій частині рівняння (4.1) в ряд за ступенями зазначених вище малих відхилень, розглядаючи всі похідні теж як самостійні змінні. Тоді рівняння (4.1) прийме вигляд:
F (,, 0) + 0?? x1 + 0?? x2 + 0??? 2 = 0, (4.4)
Де через 0 позначена величина, взята при x1 =, x2 =,? 2 = 0 (тобто спочатку береться в загальному вигляді приватна похідна від функції F по x1, після чого в неї замість всіх змінних підставляються їх постійні значення ,, 0).
Отже, всі приватні похідні в отриманому рівнянні (4.4) являють собою деякі постій...
