ами є:
метод половинного поділу;
метод ітерацій;
метод дотичних;
метод січних;
комбінований метод.
Для диференціальних рівнянь часто використовуються такі чисельні методи як:
метод Ейлера;
метод Рунге-Кутта;
метод Адамса;
метод Коуелла-Суботіна;
метод квадратур.
Методи Ейлера.
Диференціальні рівняння знаходять широке застосування в прикладних задачах. Якщо розглянута задача зводиться до розв'язання системи звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, як, наприклад, більшість завдань в теорії електричних ланцюгів, то її рішення може бути знайдено в явному вигляді. Якщо ж диференціальні рівняння мають змінні коефіцієнти або є нелінійними, то їх рішення, як правило, доводиться шукати чисельно. Використання ЕОМ значно полегшило використання диференціальних рівнянь, дозволяє вирішувати такі завдання, до яких при ручному рахунку навіть не приступали. p align="justify"> Розглянемо диференціальне рівняння
(1)
в припущенні, що функція диференційовна в деякій околиці точки. Завдання Коші для диференціального рівняння (1) формулюється так: знайти рішення рівняння (1), що задовольняє умові. p align="justify"> Метод Рунге - Кутта.
Припустимо, що функція має безперервні приватні похідні до-го порядку включно, тоді рішення задачі Коші для рівняння (1) буде мати безперервними похідними до-го порядку включно і якщо значення при відомо,, то справедливо рівність
,
. (5)
значення входять сюди похідних обчислюються з рівняння (1) послідовним диференціюванням:
,
,
В
, ... (6)
диференційний рівняння mathcad mathconnex
Підставляючи значення,, ..., певні виразами (6) у співвідношенні (5), можна обчислити значення. Однак такий розрахунок вимагає обчислень, складність яких зростає із збільшенням порядку похідних. Для скорочення обчислювальної роботи Рунге запропонував значення у вигляді:
, (7)
де,
;, ...,
,,, ...,,, ...,,, ..., - деякі параметри. br/>
Формула (3) виходить як окремий випадок формули (7) при, а формула (4) - при. Розглянемо питання про вибір параметрів,,. Для простоти обмежимося випадком. Введемо позначення:
, (8)
з виразу (7) випливає, що
. (9)
враховуючи співвідношення (6), з рівності (8) знайдемо:
,
,
,
В
. ...
