що дають більш точні межі для визначення довжини відповідної дуги. Метод Снелля спирався на теорему 3sin?/ (2 + cos ?) < ? <2 sin (?/3) + tg (?/3), яка дозволила йому за допомогою n-кутника отримати число правильних знаків, яка дорівнює або перевищує цілої частини від 4 lg (n) -0,2305. Це вдвічі більше, ніж вдавалося отримати старими методами. Доказ Снелля його теореми помилково, проте сама теорема вірна.
У 1630 р. Гринбергер за допомогою теореми Снелля довів наближене значення Пі до 39 десяткових знаків. Він був останнім з математиків, які користувалися класичним методом обчислення Пі за допомогою периметрів вписаного і описаного багатокутників. Подальше уточнення значення Пі уявлялося вже марним. p align="justify"> Докази теорем, використаних Снеллена та іншими математиками, обчислює Пі цим методом, дав Гюйгенс у роботі "De Circula Magnitudine Inventa", 1654, яку можна вважати заключною в історії даного методу. У 1659 Валліс довів, що
В
і за допомогою одного результату, встановленого кількома роками раніше Броункером, вивів формулу у вигляді ланцюгового дробу:
В
але жодна з цих формул для обчислень всерйоз не використовувалася з за надто повільною збіжності.
Розвиток аналізу в основному з працями Ісаака Ньютона і Готфріда Вільгельма Лейбніца дозволило набагато прискорити обчислення наближених значень Пі.
Сам Ньютон знайшов 15 знаків Пі, підсумовуючи кілька перших членів ряду для арксинуса. Пізніше він писав одному з колег: В«Мені соромно сказати вам, до скількох знаків я виконав ці обчислення, не займаючись більше нічимВ». У 1674 р. Ляйбніц вивів формулу 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = ?/4 (арктангенс одиниці).
Загальний ряд для арктангенса був відкритий в 1671 р. шотландським математиком Джеймсом Грегорі, хоча аналогічні вирази, мабуть, були отримані в Індії на кілька століть раніше. Джеймс Грегорі, встановив, що
В
Цей результат вірний лише в тому випадку, якщо X лежить між -?/4 і < span align = "justify">?/4.
Похибка наближення Лейбніца, що визначається як різниця між сумою n членів ряду і точним значенням ?/4 , приблизно дорівнює ( n + 1)-му члену. Так як знаменник кожного наступного доданка зростає лише на два, то, щоб отримати наближення з точністю до двох знаків, доводиться підсумовувати близько 50 членів, з точністю до...
