кладові на поступально рухомі осі і, що проходять через миттєве положення центра ваги, отримаємо і відповідно. Тоді із закону зміни моменту кількостей руху маємо:
і
,
або, користуючись виразом, отримаємо:
(9)
.4 Вільні коливання жорсткого ротора
Розглянемо вільні коливання жорсткого ротора, що має підшипники на податливих опорах (малюнок 6). Рівняння переміщення центру ваги і кутові переміщення осі ротора мають вигляд:
,
.
Тут - малі переміщення підшипників при коливаннях.
Нехай,,, - коефіцієнти жорсткості опор в горизонтальному і вертикальному напрямках так, що - представляють горизонтальні і - вертикальні реакції підшипників, викликані малими переміщеннями в напрямках і.
Малюнок 6 - Ротор на податливих підшипниках
Рівняння, що описують повороти ротора відносно осей і, має вигляд:
(10)
Диференціальні рівняння руху центру ваги приймають вигляд:
(11)
Чотири рівняння повністю описують вільні коливання жорсткого ротора на податливих опорах. Підставляючи рівняння (10), (11) функції та їх похідні
отримаємо таку систему рівнянь:
Перетворимо останню систему до вигляду:
Звідки:
Отримаємо чотири однорідних рівняння щодо що мають вигляд:
(12)
Для того, щоб система (12) мала ненульове рішення, необхідно, щоб визначник матриці системи дорівнював нулю:
(13)
Розкривши цей визначник, отримаємо частотне рівняння, з якого можна обчислити частоти чотирьох нормальних форм коливань ротора.
Частотне рівняння (13) до виду:
, (14)
в якому коефіцієнти виражаються через фізичні параметри системи:
;
Рішення прямої задачі розглянемо на конкретних прикладах.
Приклад 1 Визначити власні частоти коливань жорсткого ротора, для якого відомо:
,,,,,,,,,,.
Частотне рівняння (14) після підстановки в нього заданих фізичних параметрів приймає вигляд:
Рішення останнього рівняння, знайдене за допомогою ЕОМ наступне:
Отже, частоти коливань ротора:
.5 Програмна реалізація завдання
Рішення завдання виконано в середовищі Maple 12. Програма дозволяє за заданими характеристиками автомобіля визначати власні частоти ротора.
Були використані наступні команди математичного пакета Maple 12:, яка призначена для спрощення різноманітних виразів, які раціональні дроби (алгебраїчні вирази);, призводить подібні члени в узагальнених поліномах декількох змінних, в яких як невідомих можуть виступати функції з аргументами, які є невідомими величинами;, рішення нелінійних рівнянь в системі Maple, видає рішення в аналітичному вигляді;, дана команда очищає від старого сенсу і значень всі змінні.
Лістинг програми
> restart;
> with (LinearAlgebra) ::=Matrix (4, [[-J * w0 * p / l, J * w0 * p / l,-p ^ 2 * J1 / l + d1 * l1, p ^ 2 * J1 / l-d2 * l2], [J1 * p ^ 2/l-c1 * l1,-J1 * p ^ 2 / l + c2 * l2, J * W * p / l,-J * W * p /...
