,.
Введемо розширений вектор стану.
Тоді матриця Z буде мати наступний вигляд:,
або в чисельному вигляді
.
Власні значення матриці :. br/>
Знаючи власні значення і власні вектора матриці Z , побудуємо матрицю
В
За визначенням всі рішення повинні бути стійкі при будь-яких початкових умовах, тобто прі. Щоб не оперувати комплексними числами, здійснимо наступний перехід. Нехай:
В
Тоді матриця формується таким чином:
.
Можна показати, що матрицю можна отримати з прямої матриці власних векторів:
,
.
Стале рішення рівняння Риккати, отримане за допомогою скрипта Solve_Riccati_Method_Diag.m. має вид:
В
5.1.2 Рішення алгебраїчного рівняння Риккати інтегруванням у зворотному часу до усталеного стану
Вагові матриці і такі ж як і в пункті (5.1.1). p> Матриці теж аналогічні.
Запишемо рівняння Риккати
.
Знаючи, що, вирішуємо рівняння методом зворотного інтегрування на досить великому інтервалі (приблизно 10 с.), отримаємо усталене рішення за допомогою скрипта
Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m.:
В
В
Рис.22. Графіки рішення рівняння Риккати.
Знайдемо різницю між рішеннями рівняння Риккати у пунктах 5.1.1 і 5.1.2:
В
Висновки: порівнюючи рішення отримані у пунктах 5.1.1 і 5.1.2 можна сказати, що рішення рівняння Риккати першим і другим методами збігаються із заданою точністю. Похибка розбіжності рішень невелика.
Використовуючи скрипт AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m отримаємо коефіцієнти регулятора, фазові координати системи і керування.
В
Рис.23. Графіки коефіцієнтів регулятора зворотного зв'язку.
В В В В
Рис.24. Графіки фазових координат.
В
Рис.25. Графік управління.
Висновки: тому рішення рівняння Риккати методом діагоналізації та інтегрування у зворотному часу дають практично однаковий результат, то можна вважати, що завдання АКОР - стабілізації на напівнескінченної інтервалі розв'язана з заданою точністю.
5.2 Стабілізації об'єкта управління на кінцевому інтервалі часу
Розглянемо лінійний об'єкт управління, описуваний системою диференціальних рівнянь в нормальній формі
В
Початкові умови для заданої системи
Час стабілізації.
Необхідно отримати закон управління
В
здатний мінімізувати функціонал виду
В
Закон оптимального управління в даній задачі має вигляд
В
Матричне диференціальне рівняння Риккати буде мати наступний вигляд:
В
Якщо позначити то можна записати
В
Рівняння замкнутої скоригованої системи прийме вид
В ...
