чення і підставляючи тепер x n , x n -1 , ... , X 2 x 1 і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x n +1 , і т.д. Процес може бути продовжений до тих пір, поки не будуть вичерпані всі представляють інтерес значення t .
У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x t = A 1 x t -1 + a 2 x t -2 + F ( t ) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, які є приватним видом рівняння (7). Вони називаються однорідними, якщо f ( t ) = 0 при будь-яких t , неоднорідними - в іншому випадку. І для знаходження, і для дослідження властивостей рішення однорідного рівняння
В
x t = a 1 x t -1 + A 2 x t -2, (8)
використовується так зване характеристичне рівняння
- a 1 - a 2, (9)
Позначимо його коріння 1 , 2 і запишемо
В
У теорії звичайно-різницевих рівнянь [4] доводиться, що при 1 2 рішення рівняння (8) описується рівністю
, (10)
де A 1 і A 2 - постійні, що визначаються початковими умовами.
Якщо ж 1 = 2 =, то рішення має вигляд
, (11)
Рішення рівняння (8) залежить від значення дискриминанта характеристичного рівняння (9).
Розглянемо виникають при цьому случаі.1. D > 0. Характеристичне рівняння має два різних речових кореня. Рішення описується рівністю (10); якщо обидва кореня позитивні, то обидві компоненти рішення - монотонні геометричні прогресії. Якщо є негативні коріння, то кожному з них відповідає Знакозмінні складова рішення (10) .2. D = 0. Характеристичне рівняння має співпадаючі речові коріння, і рішення має вигляд (11).
3. D <0. Характеристичне рівняння має пару сполучених комплексних коренів: 1,2 = i . p> Рівність (10) при цьому справедливо, але незручно для використання, так як речовинний процес при цьому описується як сума комплексних складових. Зручнішу форму рішення можна отримати, використовуючи тригонометричне уявлення коренів: 1,2 = g (cos sin), де Таке подання дозволяє описати рішення рівняння (8) рівністю
, (12)
де B 1 і B 2 - постійні, що визначаються початковими умовами.
Таким чином, при D <0 рішення носить характер коливань, амплітуда...
