яких зростає (при g > 1) або убуває (при g <1);
Рішення рівняння (8) називають рівноважним, якщо значення x t не змінюється в часі. Підстановкою в рівняння (8) можна переконатися, що x t = 0 є рівноважний рішення. Рівноважний рішення називається стійким, якщо x t 0 при t ; в іншому випадку воно називається нестійким. Рівності (10) і (11) показують, що рішення буде стійким в тому і тільки в тому випадку, якщо обидва кореня характеристичного рівняння за модулем менше одиниці. У разі D <0 умові стійкості відповідає g <1, так як при цьому необхідною і достатньою умовою стійкості є a 2 > -1. За теоремою Вієта 1 2 = - a 2 , так що умова a 2 > -1 необхідно і в разі D > 0, але тут воно не є достатнім. Система нерівностей
В
дає необхідне і достатня умова стійкості для даного випадку. Для цього потрібно, щоб виконувалася нерівність
Систему можна замінити одним нерівністю
В
Об'єднуючи всі отримані результати, умова стійкості можна представити у вигляді подвійної нерівності
, (13)
Рівняння моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса має вигляд рівняння (8), при цьому
Зауважимо, що C y 0 і 0 в силу економічного змісту цих параметрів. Згідно з теоремою Вієта,
, (14)
Умова D = 0, розділяє коливальні і неколебательние рішення, тепер має вигляд
В
При характеристичне рівняння має речові коріння. З неотрицательности параметрів C y і і рівностей (14) випливає, що обидва кореня ненегативні і обидві компоненти рішення (10) змінюються монотонно. При рішення носить коливальний характер. p> Умова стійкості (13) тепер приймає вигляд
В
тобто являє собою систему нерівностей
В
На рис. 4. сталому руху відповідають області I (монотонний рух) і II (коливальний рух). Нестійкого руху відповідають області III (коливальний рух) і IV (монотонне). Області V відповідають синусоїдальні коливання з постійною амплітудою.
[5]
Рис. 4. Стилізовані фази економічного циклу
Різницеві рівняння відіграють велику роль в економічній теорії. Багато економічні закони доводять за допомогою саме цих рівнянь, вони використовуються в тих випадках, коли запізнення робить істотний вплив на розглянуті процеси. У соціально - економічних науках з метою простоти моделі, пов'язані з запізненням, записують у вигляді різницевих рівнянь, тобто у вигляді рівнянь з дискретним часом. Найбільш широке поширення різницеві рівняння в економічної теорії
Застосування різницевих рівнянь в економіці представлено в моделях:
1. Модель ринку з запізненням збуту.
2. Ринкова модель з запасами.
3...
