p> Т.к. з (8), то =>.
З (19 '), з урахуванням (29), висловимо:
, тобто (33 '). p> Т.ч.,,, тобто
(34 '),
(35 '), br/>
виразом я яких, з урахуванням (33), повністю збігаються з (9) і (10).
Тепер, з урахуванням (17 ') і (18 '), знайдемо різниця :
В В
тому , Тобто (36 '). br/>
(Тут чергування В«ПлюсаВ» і В«мінусаВ» таке ж, як і у одиниці в (29). У наступних діях ми це врахуємо).
Тепер, враховуючи (32), знайдемо різницю ( b - n ) - n :
де . p> Т.к. b + c = 2n, то b-2n = b-(b + c) =-c = -1 => c = 1 (40) .
Враховуючи (34 '), отримаємо => (38'' ') . br/>
Тепер, з урахуванням (38'' '), можна отримати остаточний вираз для b (з (35 ')):
, тобто (41''). p> Таким чином, рівняння (15) , рішеннями якого є (16), (17 '), (18') і (19 '), в кінцевому рахунку, має наступні розв'язку:
(40), (38'' ') ,
(41'') , (33 '), де - взаємно прості непарні цілі числа.
*******
Випадок 8
Неважко здогадатися, що якби у рівняння (15) були б рішення, протилежні за знаком з рішеннями (16), (17 '), (18') і (19 '), ми б отримали, в Зрештою, рішення, протилежні за знаком рішенням (40), (41 '), (38'' ') і (33'), тобто
(40 '), (38''),
, (33), де - взаємно прості цілі непарні числа.
*******
Висновок
Отже, після аналізу отриманих рішень у Випадках 1, ..., 8, рівняння (15) , де c і b - Взаємно прості цілі непарні числа , має рішення в наступних цілих числах:
В
а);;; ;
б);;; .
А це в свою чергу означає, що і рівняння при вищеназваних умовах (дивися Утвержденіе1) може мати цілі рішення або при, або при.
Випадок 9
(16)
(17)
(18 ')
(19)
З (16) і (17) маємо:
В
Враховуючи (14) і (19), можна отримати різницю іншим способом:
=> .
Отже,
==> 2 t = 4 r (в‰ 0, тому в (26'') з в‰ b ) => t = 2 r (32 ') => в (16) і (17) c і < i> b - парні, чого не повинно бути.
Ми прийшли до протиріччя з нашим припущенням про існування у рівняння (1) попарно взаємно простих цілих рішень. <В
*********
Випадок 10
(16 ')
(17 ')
(18)
(19 '),
тобто в порівнянні з попереднім випадком 9 тут знаки перед дужками протилежні, а тому (зі зрозумілих причин) результат буде таким же , що і в випадку 9.
Дійсно, з (16 ') і (17') маємо:
В
Враховуючи (14) і (19 '), можна отримати різницю іншим способом:
- => .
Отже, - = - => 2 t = 4 r (в‰ 0, т. к. в (26'') з в‰ b ) => t = 2 r (32 ') => в (16') і (17 ') c і b - парні , чого не повинно бути.
Ми прийшли до протиріччя з нашим припущенням про існування у рівняння (1) попарно взаємно простих цілих рішень.
********
Випадок 11
(16)
(17)
(18)
(19 ')
З (16) і (17) маємо:
В
Враховуючи (14) і (19 '), можна отримати різницю іншим способом:
- => .
Отже, = - => 2 t = - 4 r (в‰ 0, т. к. в (26'') з в‰ b ) => t = -2 r (32 ') => в (16) і (17) c і b - па...
