ні коефіцієнти. Вони будуть змінними в часі, якщо функція F буде містити t в явному вигляді або якщо усталений процес в системі буде визначатися змінними значеннями (t), (t). p> Знаходимо:
система диференційний рівняння рівновагу
? ? X1 = 1? ? X1 =? X1
? ? X2 = 0,5?? X2 + 0,1? 2?? X2 = 0,7? X2
? ?? 2 = 1??? 2 =?? 2
Віднявши з рівняння (4.4) почленно рівняння усталеного стану (4.2), отримаємо шукане лінеаризоване рівняння динаміки даної системи:
x1 + 0,1 + 0,5 x2 +? 2 +? x1 + 0,7? x2 +?? 2 = 0
Підставляючи задані початкові умови y (0) = x1 = 1,? (0) = x2 = 1, отримуємо:
+ 0,1? 12 + 0,5? 1 + 1? +? X1 + 0,7? X2 +?? 2 = 0
?? 2 + 0,7? x2 +? x1 + 1,6 = 0 - шукане лінеаризоване рівняння. (4.5)
Це диференціальне рівняння, так само, як і (4.1), описує той же динамічний процес в тому ж ланці автоматичної системи. Відмінність цього рівняння від колишнього полягає в наступному:
1) це рівняння буде наближеним, якщо в процесі його виведення будуть відкинуті малі вищого порядку;
2) невідомими функціями часу в цьому рівнянні є не колишні повні величини x1, x2, а їх відхилення? x1,? x2 від деяких сталих значень,;
3) отримане рівняння є лінійним щодо відхилень? x1,? x2,?? 2 з постійними коефіцієнтами 0, 0, 0 (або зі змінними коефіцієнтами, якщо F містить t в явному вигляді, а також коли усталений процес визначається змінними величинами (t), (t), наприклад, при програмному управлінні).
Таким чином, мета отримання лінійного диференціального рівняння замість колишнього нелінійного досягнута. Рівняння (4.5) називається диференціальним рівнянням ланки у відхиленнях. br/>
5. Отримати аналітичне рішення линеаризованной системи і побудувати його графік y (t) для тих же початкових умов y (0) = 1, ? (0) = 1
Отримана лінеаризованих система має вигляд
y?? + 0,7 y? + Y + 1,6 = 0 (5.1)
і являє собою однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, загальний вигляд якого
a2y?? + A1y? + A0y = 0. br/>
Дане рівняння інтегрується наступним способом.
Складають характеристичне рівняння
a2л2 + a1л + a0 = 0,
D = a12 - 4a2a0 - дискримінант.
Вид спільного рішення залежить від значення дискриминанта D:
) при D> 0 рівняння має два різних речових кореня
Л1, 2 = б1, 2 =
і загальне рішення має вигляд
y (t) = С1? eб1? t + С2? eб2? t
де С1, С2 - довільні постійні.
