ретворенню знаходимо Головні напрямки фігурі, тоб вектор - ортонормовані Власні Вектори матріці квадратічної форми, что відповідає даним рівнянню. Ортонормованих базис ми знаходимо за помощью формул:
,
,
,
де - Власні вектори, що - їхньої Довжина.
) Записати відповідній вид квадратічної формува.
.
) Записати рівняння даної фігурі в Системі координат ()
.
2. Практична частина
.1 Постановка та розв язання задачі 1 практичного Завдання
Звесті до канонічного вигляд завданні рівняння крівої іншого порядку та побудуваті ее.
5x 2 +6 xy +5 y 2 -16x-16y-16 = 0 (2.1)
Рівняння крівої (2.1) Завдання в Системі координат (О;,).
Матриця квадратічної форми, что присутности в (2.1)
A =.
знаходимо? = 16> 0. Маємо криве еліптічного типом. p> Виконуємо зведення рівняння до канонічного вигляд таким чином.
.1.1 Складаємо характеристичностью рівняння и знаходимо его корені l1 = 8, l2 = 2. Це Власні Значення матріці А.
.1.2 знаходимо Власні векторами.
Вікорістовуємо систему:
В
У Цій Системі послідовно покладемо l1 = 8, l2 = 2. p> а) l1 = 8, {-x1 + x2;
В
= (1, 1) - власний вектор; - нормованій власний вектор.
б) l1 = 2,
В
= (-1,1) - власний вектор;
- нормованій власний вектор.
Маємо нову систему координат (О;,), яка отримується з попередньої поворотом на відповідній кут.
.1.3 Запісуємо матрицю переходу від базису,. до базису,.
Т ==.
det Т == + = 1.
Матриця Т ортогональна.
Перевіряємо: det Т = 1, значити Збереже взаємна орієнтація осей при повороті системи координат.
.1.4 Виконуємо Лінійне Перетворення:
Х = Т Х Вў,
Х =,
тоб
(2.2)
Підставімо формули Перетворення (2.2) у рівняння крівої (2.1). Тоді матриця A квадратічної форми Прийма діагональній вигляд A? D = diag (l1, l2) І група старших членів представитися так:
5x2 + 6xy +5 y2 = | Х = Т Х Вў | = l1x12 + l2y12 = 8x12 +2 y12;
Група лінійніх членів:
-16x - 16y = | Х = Т Х Вў | = -16 -16 = -16 +16-16-16.
.1.5 Віділяємо повні квадратом відносно змінніх х1 та у1 у (2.3).
8 (x1 -) 2 +2 y12 = 16,
.
В
Покладемо
(2.4)
Це відповідає паралельних перенесенню качану координат у точку О1 (-6,3). Отрімаємо рівняння
(2.5)
Це канонічне рівняння гіперболі. Воно записано в Системі координат...
