диференціальних рівнянь другого порядку
.1 Лінійні однорідні диференціальні рівняння
Введемо такі скорочення: ЛОДР - Лінійне однорідне диференціальне рівняння.
Маємо ЛОДР другого порядку у вигляді:
де p і q постійні [7,8].
Для знаходження загального рішення рівняння (13) достатньо знайти два його приватних рішення, що утворюють фундаментальну систему.
Будемо шукати приватні рішення рівняння (13) у вигляді
де k-деяке число (запропоновано Л. Ейлером). Диференціюючи цю функцію два рази і підставляючи вирази для
в рівняння (13), отримаємо:
Рівняння (14) називається характеристичним рівнянням (13).
При вирішенні характеристичного рівняння (14) можливі три випадки:
випадок 1. коріння k1 і k2 дійсні і різні. Отже, загальне рішення рівняння (13) має вигляд: Випадок 2. Коріння k 1 і k 2 характеристичного рівняння (13) дійсні і різні. Отже, в цьому випадку загальне рішення ЛОДР має вигляд:
Випадок 3. Коріння k 1 і k 2 рівняння (13) комплексні:
У цьому випадку загальне рішення ЛОДР має вигляд:
.3.2 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
Введемо наступні скорочення ЛНДУ - лінійне неоднорідне диференціальне рівняння.
Розглянемо рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами, тобто рівняння
де p і q - деякі числа [8].
Загальне рішення рівняння (15) являє собою суму yо.о. відповідного однорідного рівняння і приватного рішення yч.н. неоднорідного рівняння. Приватне рішення рівняння (15) може бути знайдено методом варіації довільних сталих. p align="justify"> Для рівняння з постійними коефіцієнтами існує більш простий спосіб знаходження yч.н., якщо права частина рівняння (15) має так званий "спеціальний вид" Лучано 1.Правило частина має вигляд
Тоді рівняння (15) запишеться у вигляді:
У цьому випадку приватне рішення yч.н шукаємо у вигляді:
де r-число, рівне кратності ? як кореня характеристичного рівняння.
Випадок 2.ПРАВА частина має вигляд
Де ? і ? - дійсні чісла.Уравненіе (15) запишеться у вигляді:
Можна показати, що в цьому випадку приватне рішення yч.н рівняння (16) слід шукати у вигляді [8]:
Де M (x) і N (x)-многочлени ступеня l з нев...
