изначеними
коефіцієнтами, l-найвища ступінь многочленів P (x) і Q (x), тобто br/>
= max (n, m). br/>
4. Чисельне інтегрування диференціальних рівнянь
.1 Метод Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта-один з найбільш уживаних методів підвищеної точності [2].
Нехай потрібно знайти чисельне рішення (1), що задовольняє умові (2). Припустимо, що в точці x відомо y (x); нехай h> 0. Позначимо ? Y (x) = y (x + h)-y (x), де y (x + h) треба вирахувати. Уявімо різниця ? Y (x) у вигляді суми "поправок" kj з коефіцієнтами pj:
? y = p1k1 + p2k2 + ... + prkr (17)
Де k1 = hf (x, y)
k2 = hf (x +? 2h, y +? 21 k1)
...............................
kr = hf (x +? rh, y +? r1 k1 +? r2 + ... +? rr-1 kr-1)
Коефіцієнти pj,? j,? ji виходять при порівнянні розкладання ? y і ki за ступенями h
У разі r = 4, отримаємо ф-ли (18):
k1 = hf (x, y), = hf (x + h/2, y + k1/2), (18) = hf (x + h/2, y + k2/2 ), = hf (x + h, y + k3)
? y = (1/6) * (k1 +2 * k2 +2 * k3 + k4) (19)
При x = x0 за допомогою формул (17-19) знаходимо y1 = y0 +? y0.
Аналогічно отримуємо наступні наближення:
y (i +1) = yi +? yi (i = 1,2,3, ...) (20)
де
? yi = (1/6) * (k1 (i) +2 * k2 (i) +2 * k3 (i) + k4 (i)) , (21) (i) = hf (xi, yi); (i) = hf (xi + h/2, yi + k1 (i)/2); (i) = hf (xi + h/2, yi + k2 (i)/2); (22) (i) = hf (xi + h/2, yi + k3 (i)/2);
Для рівняння
Верна наступна оцінка похибки методу Рунге-Кутта:
де M і N-постійні, такі, що в області | x-xo |
виконуються нерівності
Метод Рунге-Кутта застосуємо також до систем диференціальних рівнянь першого порядку. Нехай дана система двох рівнянь
З початковими умовами:
Визначаючи паралельно числа ? n і ? n за формулами
? n = (1/6) * (k1 +2...
