"> паралельні за умови
k 1 = k 2 < span align = "justify">.
(Що для нас не дивно - див. приклад 11: прямі 1,2 і 3.4).
Умова перпендикулярності двох прямих
Дві прямі, певні рівняннями з кутовим коефіцієнтом
y = b 1 + k 1 ? X і y = b 2 + k 2 ? x,
перпендикулярні за умови
k1? k2 = -1 або.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку з даними кутовим коефіцієнтом
Якщо відомо, що пряма проходить через дану точку M (x 1 ; y 1 ) c даними кутовим коефіцієнтом k, то для знаходження рівняння цієї прямої використовується вираз
y = y 1 + k? (x - x 1 ).
Приклад 9 (про знаходження проекції точки на пряму)
Знайти проекцію точки Р (4; 9) на пряму, що проходить через точки А (3; 1) і В (5, 2).
Рішення :
Насамперед: знайти проекцію точки, це означає знайти координати В«тініВ» цієї точки на пряму. p align="justify"> Завдання вирішується в три кроки:
знаходиться рівняння прямої, що проходить через точки А і В;
- знаходиться рівняння прямої, що проходить через точку Р, перпендикулярно прямої АВ;
знаходяться координати точки перетину прямої, що проходить через точку Р і пряму АВ.
Крок 1
Рівняння прямої АВ шукаємо допомогою вирази для знаходження рівняння прямої, що проходить через дві дані точки :
В
Крок 2
Шукана пряма проходить через точку Р (4; 9) з кутовим коефіцієнтом, визначеним з умови перпендикулярності прямих (оскільки точка, яка є проекцією точки Р на пряму АВ є результат перетину прямої перпендикулярної прямої АВ, що проходить через точку Р). p> Тоді кутовий коефіцієнт шуканої прямої k:
В
і, використовуючи вираз для знаходження рівняння прямої, що проходить через дану точку з даними кутовим коефіцієнтом
y - 9 = -2? (x - 4)? y = - 2? x + 17.
Т.ч., шукана пряма визначається рівнянням
y = - 2? x + 17.
Крок 3
Проекцію точки Р на пряму АВ знаходимо як результату перетину знайденої прямий і прямий АВ
,
Вирішуючи отриману систему остаточно знаходимо відповідь:
координати точки перетину (7, 3).
1.3.3 Інші форми рівняння прямої
Загальне рівняння прямої
Загальним рівнянням прямої називається рівняння виду
A? x + B? y + C = 0.
В«СпільнимВ» це рівняння називається тому, що з нього можна отримати всі три форми рівняння прямої.
Так, наприклад можна отримати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
В
тобто, в цьому випадку кутовий коефіцієнт.
Загальне рівняння прямої тому й називається В«загальнимВ», що з нього можна отримати не тільки рівняння з кутовим коефіцієнтом, а й ще дві форми рівняння прямої, кожна з яких виявляється корисною при вирішенні свого класу задач. p> Отже, нехай дано загальне рівняння прямої
A? x + B? y + C = 0,
причому, тоді
В
вводячи позначення
В
звідки остаточно отримуємо
Рівняння прямої у відрізках
В
де a і b - величини відрізків (звідки і назва!), що відсікаються прямій відповідно на осі Ox і осі Oy (див. Рис.15).
В
Рис.15
Нормальне рівняння прямої
Розглянемо малюнок 16
В
Рис.16
На малюнку - відрізок ОР - нормаль (звідки і назва - В«нормальне рівняння прямійВ») проведена з початку координат до перетину з прямою (кут ОРВ - прямий); кут ? утворений нормаллю до прямої і позитивним напрямом осі Ox; довжина відрізка ОР = р.
Тоді нормальне рівняння прямої має вигляд
В
