align="justify">) при D = 0 рівняння має два співпадаючих речових кореня
Л1 = л2 = б =
та спільне вирішення імее т вид
y (t) = С1? eб? t + С2? eб? t
) при D <0 рівняння має два комплексно сполучених кореня
Л1, 2 = б В± iв = В± i? br/>
і загальне рішення має вигляд
y (t) = С1? eб? t? cos (Вt) + С2? eб? t? sin (Вt)
Отже, складаємо характеристичне рівняння з вихідного (5.1) (вільний член Обнуляємо):
y2 + 0,7 y + 1 = 0
Тут a2 = 1, a1 = 0,7, a0 = 1.
Обчислюємо дискримінант:
= a12 - 4a2a0 = 0,72? 4? 1? 1 = 0,49? 4 =? 3,51
Дискримінант - негативне число, отже, наше рівняння має два комплексно сполучених кореня
Л1, 2 = б В± iв = В± i? p> Л1, 2 = В± i? p> Л1, 2 =? 0,35 В± i? 0,937,
звідки
б =? 0,35, в = 0,937
Загальний вид рівняння
(t) = С1? e-0, 35t? cos (0,937 t) + С2? e-0, 35t? sin (0,937 t) (5.2)
Ми отримали загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Далі нам необхідно знайти рішення рівняння (5.2), що задовольнить початкових умов y (0) = 1,? (0) = 1, тобто вирішити задачу Коші.
Підставляючи значення t = 0 в рівняння (5.2), отримуємо перша умова:
y (0) = С1? e-0, 35? 0? cos (0,937? 0) + С2? e-0, 35? 0? sin (0,937? 0)
y (0) = С1? 1? 1 + С2? 1? 0 = С1
y (0) = 1 => С1 = 1
Друга умова? (0) = 1:
y? (0) = [С1? e-0, 35t? cos (0,937 t) + С2? e-0, 35t? sin (0,937 t)]?
y? (0) = [С1? e-0, 35t? cos (0,937 t)]? + [С2? e-0, 35t? sin (0,937 t)]?
y? (0) = [С1? e-0, 35t? cos (0,937 t)]? + [С2? e-0, 35t? sin (0,937 t)]?
y? (0) = (С1? e-0, 35t)? ? cos (0,937 t) + С1? e-0, 35t? [cos (0,937 t)?] + (С2? e-0, 35t)?? ? Sin (0,937 t) + [sin (0,937 t)?]? С2? e-0, 35t
y? (0) =? 0,35 С1? e-0, 35t cos (0,937 t)? 0,937 sin (0,937 t)? С1? e-0, 35t + [(? 0,35 С2? e-0, 35t? sin (0,937 t)] + 0,937 cos (0,937 t)? С2? e-0, 35t
y? (0) = cos (0,937 t)? (? 0,35 С1? e-0, 35t + 0,937 С2? e-0, 35t) -
? sin (0,937 t)? (0,937 С1? e-0, 35t + 0,35 С2? e-0, 35t)
Підставляємо t = 0:
y? (0) = cos (0,937? 0)? (? 0,35 С1? e-0, 35? 0 + 0,937 С2? e-0, 35? 0) -
? sin (0,937? 0)? (0,937 С1? e-0, 35? 0 + 0,35 С2? e-0, 35? 0)
y? (0) =? 0,35 C1 + 0,937 C2
Знаючи y? (0) = 1 по умові і розраховане С1 = 1, отримуємо
? 0,35 + 0,937 C2 = 1
С2 = 1,44
Тоді остаточне рішення линеаризованной системи для початкових умов y (0) = 1,? (0) = 1 має вигляд
...
