характеризує температуру тіла у вузлових точках.
При заміні неперервної функції T (y, t) дискретної сіткової функцією необхідно замінити диференціальне рівняння теплопровідності з відповідними крайовими умовами, системою алгебраїчних (різницевих) рівнянь, що зв'язують значення сіткової функції в сусідніх вузлових точках. Така система алгебраїчних рівнянь, що є наближеною математичною моделлю процесу теплопровідності, називається різницевої схемою рішення вихідної крайової задачі.
Перейдемо до побудови різницевих схем для лінеіной одновимірної задачі теплопровідності (2.2) - (2.5). Використовуємо для цього метод балансу, причому будемо виходити не з готових диференціальних співвідношень, а безпосередньо із законів збереження енергії і перенесення тепла, застосованих до дискретного температурному полю.
Розглянемо елементарний шар yi - 1/2 lt; y lt; yi + 1/2 товщиною y, відповідний деякого i-тому внутрішньому вузлу і запишемо для нього рівняння теплового балансу при переході від k-того до k + 1-му моменту часу. У розрахунку на одиницю площі поперечного перерізу злитка отримаємо:
(2.8)
де, - щільність теплового потоку, що входить до i-тий шар з боку сусідньої правого вузла, а - щільність теплового потоку, що виходить з i-того шару і переданого сусіднього лівого вузла.
Рисунок 2.1 - Прямокутна сітка в площині (y, t)
Права частина рівняння (8) виражає кількість тепла, акумулює-ванного i-тим елементарним шаром (i-тим вузлом) протягом інтервалу часу t. Ліва частина висловлює зміна ентальпії елементарного шару при зміні його температури від і. Для отримання замкнутої системи різницевих рівнянь щодо сіткових значень температур потрібно зв'язати густини теплових потоків та з температурами у відповідних вузлових точках. Для цього використовуємо діскретниі аналог закону Фур'є.
, (2.9)
При конкретизації виразів (2.7) слід вказати, якому моменту часу відповідають температури. Можливість різних відповідей на це питання і є головною причиною різноманіття різницевих схем вирішення вихідної задачі теплопровідності.
Якщо щільності теплових потоків обчислюються по температурах в попередній, k-тий момент часу, тобто:
,, (2.10)
то в результаті виходить так звана явна різницева схема.
Якщо у виразах (2.9) фігурують температури в наступний k + перший момент часу, тобто:
,, (2.11)
то получающаяся різницева схема називається чисто неявній.
2.3.3 Явна різницева схема
Підставами виразу (2.10) в рівняння (2.8) для внутрішних вузлів і введемо позначення:
, (2.12)
де а - коефіцієнт температуропровідності.
Після елементарних перетворень одержимо систему алгебраїчних рівнянь:
(2.13)
є різницевим аналогом диференціального рівняння теплопровідності (2.5). З наведених рівнянні випливає, що
i=2,3 ... n, (2.14)
тобто в кожен k + перший момент часу нові значення температури визначаються трьома її значеннями в попередній, k-тий момент часу. Це положення ілюструється шаблоном, зображеним на малюнку 2.2, який вказує сукупність точок (i, k), використовуваних при записі різницевих рівнянь у внутрішніх вузлах.
Малюнок 2.2 чотирьохточковим шаблон, відповідний явною різницевої схемою
Різницеве ??рівняння для лівого граничного вузла (i=1) відповідне граничній умові в центрі зливка (3), отримаємо, записавши рівняння теплового балансу для крайнього лівого елементарного шару завтовшки Dy/2.
(2.15)
або
(2.16)
Для правого граничного вузла (i=n + 1) слід записати різницеве ??рівняння, відповідне одному з граничних умов на поверхні злитка (4). При граничному умови II або III роду використовуємо рівняння теплового балансу для крайнього елементарного шару завтовшки Dy/2.
При записи різницевого рівняння, відповідного умові (4), врахуємо, що щільність зовнішнього теплового потоку на k-му кроці по часу дорівнює, отримаємо:
(2.17)
Або (2.18)
де - співвідношення (2.13), (2.16), і (2.18) показують, що в граничних вузлах так само, як і у внутрішніх, нові значення температури повністю визначаються її значеннями в попередній момент часу.
Таким чином, знаючи вихідне розподіл температури (при k=0), що випливає з початкової умови (2.2):
i=1,2, ..., n + 1 (2.19)
використовуючи наведені різницеві рівняння, можна, послідовно переходячи від k-того до k + 1-му моменту часу, провести розрахунок дискретного температурного поля.
Відзначимо, що особливістю отриманої явною разностноі схеми є те, що вона розпадається на окремі рівняння, вирішення яких проводиться незалежно одне від одного, причому обчислення...
