br />
рис.8.1 Лінія регресія
Дисперсія вибіркової середньої
Для знаходження дисперсії представимо коефіцієнт регресії у вигляді:
Знайдемо оцінку дисперсії групових середніх, враховуючи замінюючи її оцінкою:
Виходячи з того, що статістікаімеет t-розподіл Стьюдента з k=п - 2 ступенями свободи, можна побудувати довірчий інтервал для умовного математичного очікування
де=- стандартна помилка груповий середньої.
Довірчий інтервал для індивідуальних значень залежної змінної. Побудована довірча область для МХ (У) (див. Рис. 2) визначає місцеположення модельної лінії регресії (тобто умовного математичного очікування), але не окремих можливих значень залежної змінної, які відхиляються від середньої. Тому при визначенні довірчого інтервалу для індивідуальних значень у'0 залежною змінною необхідно враховувати ще одне джерело варіації - розсіювання навколо лінії регресії, тобто в оцінку сумарної дисперсії S2 слід включити величину S2. У результаті оцінка дисперсії індивідуальних значень Yо при х=хо дорівнює
а відповідний довірчий інтервал для прогнозів індивідуальних значень 0будет визначатися за формулою:
Довірчий інтервал для параметрів регресійної моделі. Поряд з інтервальним оцінюванням функції регресії іноді представляє інтерес побудова довірчих інтервалів для параметрів регресійної моделі, зокрема для параметрів регресійної моделі, зокрема для і.
Можна показати, що при виконанні передумови 5 регресійного аналізу статистика має стандартний нормальний закон розподілу а якщо в для замінити її оцінкою, то статистика
має t-розподіл Стьюдента з k=n - 2 ступенями свободи. Тому інтервальна оцінка параметра на рівні значущості має вигляд:
Завдання 8.7. У таблиці 8.1. задані значення, незалежної змінної приведено в першому рядку, залежною - у другій.
Таблиця 8.1.
x3943445059576358647072793533y3133343637404143444648512327
Таблиця 8.2
Довірчий інтервал для функції регрессіі27,8 lt;=29,6 lt;=31,4Доверітельний інтервал для індивідуальних значеній24,74 lt;=4,4 lt;=34,46Доверітельний інтервал для параметра0,36 lt;=0, 54 lt;=0,72
Тепер маємо S 2=4,4
S2х=39=4,4 * (1/14 + (39 - 54,7) ^ 2/2692,9=0,7
і Sх=39== 0,84
За табл. II додатків t0,95; 39=2,16
Довірчий інтервал:
, 8 lt;=29,6 lt;=31,4
Середня годинна продуктивність праці на одного робітника від рівня механізації робіт з надійністю 0,95 знаходитися в межах від 27,8 до 31,4т.
. Щоб побудувати довірчий інтервал для індивідуального значення y * х0=39, знайдемо дисперсію його оцінки:
S2yх0=39=4,4 * (1 + 1/14 + (39 - 54,7) ^ 2/2692,9=5,1
і S2yх0=39== 2,25
Далі шуканий довірчий інтервал отримаємо:
, 74 lt;=4,4 lt;=34,46
Таким чином, індивідуальна продуктивність праці на одного робітника від рівня механізації з надійністю 0,95 знаходиться в межах від 24,74 до 34,46 т.
. Знайдемо 95% -ний довірчий інтервал для параметра 1.
За формулою:
, 36 lt;=0,54 lt;=0,72
т. е. з надійністю 0,95 при зміні рівня механізації Х на 1 м годинна продуктивність праці Y буде змінюватися на величину, укладену в інтервалі від 0,36 до 0,72 (т).
. Визначення довірчих інтервалів для коефіцієнтів і функції регресії
Перейдемо тепер до оцінки значущості коефіцієнтів регресії bj і побудові довірчого інтервалу для параметрів регресійної моделі
викладених вище оцінка дисперсії коефіцієнта регресії 6, визначиться за формулою:
(9.1)
де - несмещенная оцінка параметра;
Середня квадратическим відхилення (стандартна помилка) коефіцієнта регресії прийме вигляд:
(9.2)
Значимість коефіцієнта регресії можна перевірити, якщо врахувати, що статістікаімеет t-розподіл Стьюдента ступенями свободи. Тому значимо відрізняється від нуля рівні значущості, еслітаблічное значення t-критерію Стьюдента, визначене на рівні значущості при числі ступенів свободиk=np - 1.
Тому довірчий інтервал для параметра є
(9.3)
Поряд з інтервальним оцінюванням коефіцієнтів регресії досить важливим для оцінки точності визначення залежної змінної (прогнозу) є побудова довірчого інтервалу для функції регресії або для умовного математичного очікування залежною змінною знайденого в припущенні, що пояснюючі змінні прийняли значення, що задаються вектором. Вище такий інтервал отриманий для рівняння парної регресії. Узагальнюючи відповідні вирази на випадок множинної регресії, можна отримати довірчий інтервал д...
