p> 2 , x, x -1 , x -2 , x -3 , x -4 , x -5 , x -6 . Діофант застосовував знак рівності (символ i) і знак для позначення віднімання.
Діофант сформулював правила алгебраїчних опeрацій зі ступенями невідомою, відповідні нашим множенню і діленню ступенів з натуральними показниками (для m + nВ 6), і правила знаків при множенні. Це дало можливість компактно записувати многочлени, робити множення їх, оперувати з рівняннями. Він вказав також правила перенесення негативних членів рівняння в іншу частину його з зворотними заїками, взаємного знищення однакових членів в обох частинах рівняння.
В«АрифметикаВ» присвячена проблемі рішення невизначених рівнянь. І хоча Діофант вважає число зборами (а це означає, що розглядаються тільки натуральні числа), при вирішенні невизначених рівнянь він не обмежується натуральними числами, а відшукує і позитивні раціональні рішення.
Невизначеними рівняннями до Діофанта займалися математики школи Піфагора у зв'язку з пифагоровой теоремою. Вони шукали трійки цілих позитивних чисел, що задовольняють рівнянню x 2 + y 2 = z 2 .
Діофант поставив завдання встановити разрешимость (у раціональних числах) і в разі можливості розв'язання знайти раціональні рішення рівняння F (х, у) = 0, де ліва частина - многочлен з цілими або раціональними коефіцієнтами. Він досліджував невизначені рівняння другої, третьої та четвертої ступенів і системи невизначених рівнянь. p> У другій книзі В«АрифметикиВ» він так досліджує, наприклад, рівняння другого порядку F (х, у) = 0.
Це рівняння задає конічний перетин. Всякому раціонального вирішення рівняння відповідає точка кривої з раціональними координатами. Нехай a, b - такі координати, тобто F (a, b) = 0.
Діофант робить підстановку у = b + k (х - а), або y = b + kt, х = а + t.
Тоді F (а + T, b + kt) = F (a, b) + tA (а, b) + ktB (а, b) + t 2 C (a, b, k) = 0.
Але F (a, b) = 0, тому t = -.
Це означає, що кожному раціональному значенням параметра k відповідає раціональне ж значення t, а значить, раціональна точка кривої. Очевидний геометричний зміст рішення: через раціональну точку кривої (a, b) проводиться пряма y - b = k (x - a) і перебувають друга точка її перетину з кривою.
Методи Діофанта згодом застосовували і розвивали арабські вчені, Вієт (1540-1603), Ферма, Ейлер (1707-1783), Якобі (1804-1851), Пуанкаре (1854-1912). p> Оцінюючи творчість Діофанта, Цейтен відзначає істотну деталь: В«Нарешті, ми бажаємо тут коротенько вказати на важливу роль, зіграну згодом творами Діофанта. Завдяки тому, що певні рівняння першого та другого ступеня були зодягнені у нього в чисельну оболонку вони виявилися набагато більш доступними для людей, не присвячених ще в культуру грецької математики; більш доступними, ніж ті абстрактні геометричні форми, які приймають у Евкліда рівняння д...
