ання, то зручно використовувати циліндричну систему координат. На першій ділянці для підвищення точності рішення застосована сферична система координат. Рівняння теплопровідності для сферичної системи координат (ділянка I):
. br/>
Для циліндричної системи координат (ділянки II, III і IV):
. br/>
У рівняннях - циліндричні координати; - сферичні координати; - температура; - час; - питома об'ємна теплоємність; - щільність матеріалу оправлення; - питома масова теплоємність.
Для центру сфери рівняння теплопровідності записується таким чином:
. br/>
Для осі центру:
. br/>
Для виділення єдиного рішення диференціального рівняння застосовуються описані вище умови однозначності [3], [4].
3. Метод і алгоритм розв'язання рівнянь теплообміну
В
Для вирішення диференціального рівняння теплопровідності (2.36) з відповідними початковими і граничними умовами застосовується метод кінцевих різниць. Звичайно-різницева сітка зображена на рис.3.1 Кожен вузол сітки нумерується у вигляді, де - номер вузла у напрямку для півсфери і циліндра, a - номер вузла у напрямку для півсфери і по напрямку для циліндра. Нумерація вузлів починається від центру сфери й осі циліндра. Конічна поверхню оправки замінена ступінчастою, кратною кроку. Дискретні моменти часу зазвичай нумеруються індексами: - попередній, а - наступний моменти часу. Номер попередньої і наступної ітерації позначається верхніми індексами і відповідно.
Для апроксимації диференціальних рівнянь теплопровідності (2.37) - (2.40) застосовується неявна консервативна итерационная різницева схема, реалізована методом Гаусса-Зейделя. Суть цього методу полягає в тому, що при розрахунку температури у вузлі на -Й ітерації використовуються температури і з попередньої ітерації і знову обчислені температури і на розрахунковій-й ітерації. Неявность різницевої схеми досягається застосуванням ітераційної процедури на кожному часовому шарі.
В
Рис.3.1 Звичайно-різницева сітка, застосовувана в чисельному методі кінцевих різниць при вирішенні завдання теплопровідності оправлення.
Звичайно-різницеві аналоги диференціального рівняння теплопровідності для всіх характерних ділянок оправлення записуються так:
а) внутрішні вузли сфери:
В
б) внутрішні вузли конічної і циліндричної частин оправлення:
В
в) температура у вузлах, розташованих на поверхні сполучення: півсфера - конус, розраховується наступним чином. Оскільки поверхня сполучення одночасно належить півсфері і конусу, то друга похідну по координатах і апроксимується за формулами, наведеними далі. Для півсфери приймається складова другий похідної по куту в сферичних координатах, а для конічної частини - складова другої похідної по в циліндричних координатах. Вузли, розташовані на поверхні сполучення півсфера - конус, пронумеровані. На поверхні с...
