взяли становить не нулю, а величині с. Тоді для моментів часу ми отримали б оцінки, що збігаються з оцінками.
Дамо визначення розширене рішення для системи (17). Так ми називатимемо рішення за умови, що прийнята рівною, причому з тут і далі розглядається вже як довільна величина. У позначенні залежність рішення від величини c і номера кроку. Природно, що.
З рівняння (17, а) випливає, що розширене рішення від кроку до кроку задовольняє співвідношенню:
З рівняння (17, б) випливає, що величини і задовольняє співвідношенню
У подальших викладках ми замінимо на, вважаючи його останнім кроком.
Попередні співвідношення можна записати в узагальненому вигляді
a)
b) .
c)
Розглянемо тепер уявлення
де, і матриці розмірності n * n.
З (18, б) випливає, що
У такому випадку з (18) - (19) випливає рівняння дискретного інваріантного занурення
Рішення цього рівняння будемо шукати у наступному наближенні:
,
де, а невідома поки симетрична матриця розміром n * n.
Враховуючи, що
,
з (21) і (22) отримаємо:
(23)
Співвідношення (23) вірно при будь-яких досить малих c. Будемо вважати, що його ліву і праву частину можна розкласти в статечні ряди по змінній c. Якщо прирівняти один до одного вільні члени, а також коефіцієнти при першій ступенях c, то отримаємо
Якщо в (18) прийняти з=0, то з урахуванням (22) одержимо
У такому випадку рівняння (24) прийме вигляд
Можна помітити рівняння для оцінок (26) за формою співпало з рівнянням (10), отриманим раніше з умови мінімуму для дисперсії оцінювання.
Розглянемо тепер рівняння (25) для матриці Для цього потрібно обчислити вхідні в нього похідні. На підставі (25), (18) і (22)
де
Перейдемо до обчислення, що входить до (25). На підставі (18) і (22) отримуємо
З (25) випливає
Обчислення за формулою (27) вимагає звернення трьох матриць, обчислювальні труднощі можуть битьрешени за допомогою наступного прийому
Визначимо матрицю за допомогою співвідношення
Тоді, спираючись на лемму про звернення (додаток 1)
Звідси і (27) отримуємо формулу для рекурентного обчислення матриці
Для нелінійної стохастичної дискретної системи виду (11) отримуємо остаточно таку зведення формул для алгоритму нелінійного фільтрації, оптимального за критерієм максимуму апостеріорної щільності ймовірності
a),
де.
b),
де
